\documentclass[t,12pt,aspectratio=169]{beamer} % 16:9 宽屏比例，适合现代投影
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{高中数学第十一章 - 空间向量与立体几何}
\subtitle{第二节 - 空间向量基本定理}
\author{人教版}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 标题页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 目录页
%\begin{frame}[allowframebreaks]{Contents}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

\begin{frame}{目录}

\begin{itemize}
\item  平面向量基本定理
\item  空间向量基本定理
\item  基底
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{11.2.1. }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{11.2. }


我们知道，平面内的任意一个向量 $\boldsymbol{p}$ 都可以用两个不共线的向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 来表示（平面向量基本定理）。

类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 来表示呢？

我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论。

\newpage

% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{120} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (O) at (0,0,0);
        \coordinate (B) at (3,0,0);
        \coordinate (Q) at (3,4,0);
        \coordinate (C) at (0,4,0);
        \coordinate (A) at (0,0,2);
        \coordinate (P) at (3,4,2);
            
        \draw[thick] (O) -- (B) -- (Q) -- (C) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (O) -- (B) -- (Q) -- (C) -- cycle;

        \draw[thick] (O) -- (A) -- (P) -- (Q) -- cycle;
        \fill[pink!20, opacity=0.5] (O) -- (A) -- (P) -- (Q) -- cycle;
            
        % 标记点
        \fill[blue] (O) circle (1.5pt) node[above left] {$O$};
        \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[above right] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below left] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
        \fill[blue] (P) circle (1.5pt) node[above right] {$P$};
        \fill[blue] (Q) circle (1.5pt) node[below right] {$Q$};

        % 一条对角线
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O) -- (P) node[midway,above] {$\mathbf{p}$};

        % 坐标系
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, blue] (O) --++ (1,0,0) node[left] {$\mathbf{i}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, blue] (O) --++ (0,1,0) node[right] {$\mathbf{j}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, blue] (O) --++ (0,0,1) node[right] {$\mathbf{k}$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.2-1}
    \label{fig:1.2-1}
\end{figure}

如图 1.2-1，设 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点 $O$。

对于任意一个空间向量 $\boldsymbol{p}=\overrightarrow{OP}$，设 $\overrightarrow{OQ}$ 为 $\overrightarrow{OP}$ 在 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}$ 所确定的平面上的投影向量，则 $$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QP}.$$

又向量 $\overrightarrow{QP}, \boldsymbol{k}$ 共线（平行），因此存在唯一的实数 $z$，使得 $\overrightarrow{QP}=z\boldsymbol{k}$，从而
$$
\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+z\boldsymbol{k}.
$$

\newpage

而在 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}$ 所确定的平面上，由{\color{red}平面向量基本定理}可知，存在唯一的有序实数对 $(x, y)$，使得
$$
\overrightarrow{OQ}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}.
$$

从而
$$
\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+z\boldsymbol{k}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}.
$$

因此，如果 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量 $\boldsymbol{p}$，存在唯一的有序实数组 $(x, y, z)$，使得
$
\boldsymbol{p}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}.
$

我们称 $x\boldsymbol{i}, y\boldsymbol{j}, z\boldsymbol{k}$ 分别为向量 $\boldsymbol{p}$ 在 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 上的{\color{red}分向量}。

\newpage

\textbf{探究:}

在空间中，如果用任意三个不共面的向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 代替两两垂直的向量 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$，你能得出类似的结论吗？

类似平面向量基本定理，我们有{\color{red}空间向量基本定理}。

\newpage

\textbf{定理:} 如果三个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 不共面，那么对任意一个空间向量 $\boldsymbol{p}$，存在唯一的有序实数组 $(x, y, z)$，使得
$$
\boldsymbol{p}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c}.
$$


由此可知，如果三个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 $$\{\boldsymbol{p} \mid \boldsymbol{p}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c}, x, y, z \in \mathbb{R}\}.$$

这个集合可看作由向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 生成的，我们把 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 叫做空间的一个{\color{red}基底}（basis），$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 都叫做{\color{red}基向量}（base vectors）。

空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 1，那么这个基底叫做{\color{red}单位正交基底}，常用 $\{\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 表示。

由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 $\boldsymbol{a}$，均可分解为三个向量 $x\boldsymbol{i}, y\boldsymbol{j}, z\boldsymbol{k}$，使 $\boldsymbol{a}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$。

像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做{\color{red}把空间向量进行正交分解}。


由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来。

进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便。


\newpage

\textbf{例1.} 如图 1.2-2，$M$ 是四面体 $OABC$ 的棱 $BC$ 的中点，点 $N$ 在线段 $OM$ 上，点 $P$ 在线段 $AN$ 上，且 $MN=\frac{1}{2}ON$, $AP=\frac{3}{4}AN$，用向量 $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ 表示 $\overrightarrow{OP}$. 


\textbf{分析：} 

$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ 是三个不共面的向量，所以它们构成空间的一个{\color{red}基底}。

%$\{\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\}$，

向量 $\overrightarrow{OP}$ 可以用基底 $\{\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\}$ 表示出来。


\newpage

% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{50}{0} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.7, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (O) at (0,0,0);
        \coordinate (A) at (-1,0,-2);
        \coordinate (B) at (0,-1,-2);
        \coordinate (C) at (2,0,-2);
        \coordinate (M) at (1,-0.5,-2);
        \coordinate (N) at (0.666,-0.333,-1.333);
        \coordinate (P) at (0.25,-0.25,-1.5);

        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (A) -- (C);
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;

        % 标记点
        \fill[blue] (O) circle (1.5pt) node[above left] {$O$};
        \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[below left] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below left] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
        \fill[blue] (M) circle (1.5pt) node[below right] {$M$};
        \fill[blue] (N) circle (1.5pt) node[above right] {$N$};
        \fill[blue] (P) circle (1.5pt) node[below right] {$P$};

        \draw[thick] (O) -- (A);
        \draw[thick] (O) -- (B);
        \draw[thick] (O) -- (C);
        \draw[thick] (O) -- (M);
        \draw[dashed] (A) -- (N);

        % 待研究的向量
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple] (O) -- (P);

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.2-2}
    \label{fig:1.2-2}
\end{figure}

\newpage

% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{50}{0} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.7, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (O) at (0,0,0);
        \coordinate (A) at (-1,0,-2);
        \coordinate (B) at (0,-1,-2);
        \coordinate (C) at (2,0,-2);
        %\coordinate (M) at (1,-0.5,-2);
        %\coordinate (N) at (0.666,-0.333,-1.333);
        %\coordinate (P) at (0.25,-0.25,-1.5);

        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (A) -- (C);
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;

        % 标记点
        \fill[blue] (O) circle (1.5pt) node[above left] {$O$};
        \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[below left] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below left] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
        %\fill[blue] (M) circle (1.5pt) node[below right] {$M$};
        %\fill[blue] (N) circle (1.5pt) node[below right] {$N$};
        %\fill[blue] (P) circle (1.5pt) node[below right] {$P$};

        \draw[thick] (O) -- (A);
        \draw[thick] (O) -- (B);
        \draw[thick] (O) -- (C);
        %\draw[thick] (O) -- (M);
        %\draw[dashed] (A) -- (N);

        % 待研究的向量
        %\draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple] (O) -- (P);

        %找到一个基底
        \draw[->, -{Stealth[scale=2.0]}, thick, purple] (O) -- (A);
        \draw[->, -{Stealth[scale=2.0]}, thick, purple] (O) -- (B);
        \draw[->, -{Stealth[scale=2.0]}, thick, purple] (O) -- (C);

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.2-2}
%    \label{fig:1.2-2}
\end{figure}

\newpage

\textbf{解：} 

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{OP} &= \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP} \\ 
&= \overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AN} \\
&= \overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}) \\
&= \overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}\right)-\frac{3}{4}\overrightarrow{OA} \\
&=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}.
\end{aligned}
$$

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png}
%     \caption{图 1.2-2}
% \end{figure}



\newpage

\textbf{练习1.} 已知 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 是空间的一个基底。从 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 中选哪一个向量，一定可以与向量 $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{q}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 构成空间的另一个基底？


\newpage

\textbf{练习2.} 已知 $O, A, B, C$ 为空间的四个点，且向量 $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ 不构成空间的一个基底，那么点 $O, A, B, C$ 是否共面？


\newpage

\textbf{练习3.} 如图，已知平行六面体 $OABC-O'A'B'C'$，点 $G$ 是侧面 $BB'C'C$ 的中心，且 $\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{OC}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{OO'}=\boldsymbol{c}$. 
    (1) $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 是否构成空间的一个基底？
    (2) 如果 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：$\overrightarrow{OB'}, \overrightarrow{BA'}, \overrightarrow{CA'}, \overrightarrow{OG}$。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png}
%     \caption{(第 3 题)}
% \end{figure}


\newpage

\textbf{例2.} 如图 1.2-3，在平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=4, AD=4, AA_1=5, \angle DAB=60^\circ, \angle BAA_1=60^\circ, \angle DAA_1=60^\circ$，$M, N$ 分别为 $D_1C_1, C_1B_1$ 的中点。求证 $MN \perp AC_1$.


\textbf{分析：} 要证明 $MN \perp AC_1$，只需证明 $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AC_1}=0$。由已知，$\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA_1}\}$ 可构成空间的一个基底。把 $\overrightarrow{MN}$ 和 $\overrightarrow{AC_1}$ 分别用基底表示，然后计算 $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AC_1}$ 即可。


% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png}
%     \caption{图 1.2-3}
% \end{figure}

% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{40}{0} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.85, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (A) at (0,0,0);
        \coordinate (B) at (4,0,0);
        \coordinate (D) at ( 3.464, 2, 0); % (2*sqrt(3),2,0)
        \coordinate (A1) at (2.5, 1.443, 4.082); % (5/2, 5*sqrt(3)/6, 5*sqrt(6)/3)
        \coordinate (C) at (7.464,2,0);
        \coordinate (B1) at (6.5, 1.443, 4.082);
        \coordinate (C1) at (9.964, 3.443, 4.082);
        \coordinate (D1) at (5.964, 3.443, 4.082);

        \coordinate (M) at (7.964, 3.443, 4.082); %(C1+D1)/2
        \coordinate (N) at (8.232, 2.443, 4.082); %(C1+B1)/2

        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[above left] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
        \fill[blue] (D) circle (1.5pt) node[below right] {$D$};
        \fill[blue] (A1) circle (1.5pt) node[below right] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (1.5pt) node[below right] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (1.5pt) node[below right] {$C_1$};
        \fill[blue] (D1) circle (1.5pt) node[below right] {$D_1$};
        \fill[blue] (M) circle (1.5pt) node[below right] {$M$};
        \fill[blue] (N) circle (1.5pt) node[below right] {$N$};

        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (D) -- (D1);

        % 待研究的线段
        \draw[dashed, purple] (A) -- (C1);
        \draw[thick, purple] (M) -- (N);

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.2-3}
    \label{fig:1.2-3}
\end{figure}


\newpage


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{40}{0} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.85, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (A) at (0,0,0);
        \coordinate (B) at (4,0,0);
        \coordinate (D) at ( 3.464, 2, 0); % (2*sqrt(3),2,0)
        \coordinate (A1) at (2.5, 1.443, 4.082); % (5/2, 5*sqrt(3)/6, 5*sqrt(6)/3)
        \coordinate (C) at (7.464,2,0);
        \coordinate (B1) at (6.5, 1.443, 4.082);
        \coordinate (C1) at (9.964, 3.443, 4.082);
        \coordinate (D1) at (5.964, 3.443, 4.082);

        \coordinate (M) at (7.964, 3.443, 4.082); %(C1+D1)/2
        \coordinate (N) at (8.232, 2.443, 4.082); %(C1+B1)/2

        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记点
         \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[above left] {$A$};
         \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
         \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
         \fill[blue] (D) circle (1.5pt) node[below right] {$D$};
         \fill[blue] (A1) circle (1.5pt) node[below right] {$A_1$};
         \fill[blue] (B1) circle (1.5pt) node[below right] {$B_1$};
         \fill[blue] (C1) circle (1.5pt) node[below right] {$C_1$};
         \fill[blue] (D1) circle (1.5pt) node[below right] {$D_1$};
         \fill[blue] (M) circle (1.5pt) node[below right] {$M$};
         \fill[blue] (N) circle (1.5pt) node[below right] {$N$};

        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (D) -- (D1);

        % 证明用到的向量
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple] (A) -- (C1);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (M) -- (N);

        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (A) -- (B) node[midway, right] {$\mathbf{a}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple] (A) -- (D) node[midway, right] {$\mathbf{b}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (A) -- (A1) node[midway, right] {$\mathbf{c}$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.2-3}
%    \label{fig:1.2-3}
\end{figure}


\newpage

\textbf{证明：} 

设 $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{c}$，这三个向量不共面，$\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 构成空间的一个{\color{red}基底}。

我们用它们表示 $\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{AC_1}$，则
\begin{align*}
\overrightarrow{MN} &= \overrightarrow{MC_1} + \overrightarrow{C_1N} = \frac{1}{2}\boldsymbol{a} - \frac{1}{2}\boldsymbol{b}, \\
\overrightarrow{AC_1} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c},
\end{align*}

\newpage

所以
\begin{align*}
\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AC_1} &= \left(\frac{1}{2}\boldsymbol{a} - \frac{1}{2}\boldsymbol{b}\right) \cdot (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) \\
&= \frac{1}{2}\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \frac{1}{2}\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} - \frac{1}{2}\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} - \frac{1}{2}\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} - \frac{1}{2}\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} \\
&= \frac{1}{2} \times 4^2 + \frac{1}{2} \times 4^2 \times \cos 60^\circ + \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \cos 60^\circ \\
& \quad 
- \frac{1}{2} \times 4^2 \times \cos 60^\circ - \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \cos 60^\circ = 0.
\end{align*}

所以 $MN \perp AC_1$. 


\newpage

\textbf{例3.} 如图 1.2-4，正方体 $ABCD-A{\,}'B{\,}'C{\,}'D{\,}'$ 的棱长为 1，$E, F, G$ 分别为 $C{\,}'D{\,}', A{\,}'D{\,}', D{\,}'D$ 的中点。
(1) 求证：$EF \parallel AC$；
(2) 求 $CE$ 与 $AG$ 所成角的余弦值。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png}
%     \caption{图 1.2-4}
% \end{figure}

% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{60}{30} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=2.5, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 定义各点的坐标
        \coordinate (A) at (0,0,0);
        \coordinate (B) at (1,0,0);
        \coordinate (C) at (1,1,0);
        \coordinate (D) at (0,1,0);
        \coordinate (A1) at (0,0,1);
        \coordinate (B1) at (1,0,1);
        \coordinate (C1) at (1,1,1);
        \coordinate (D1) at (0,1,1);

        \coordinate (F) at (0,0.5,1); %(A1+D1)/2
        \coordinate (E) at (0.5,1,1); %(C1+D1)/2
        \coordinate (G) at (0,1,0.5); % (D+D1)/2

        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (0.5pt) node[below left] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (0.5pt) node[below right] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (0.5pt) node[below right] {$C$};
        \fill[blue] (D) circle (0.5pt) node[above right] {$D$};
        \fill[blue] (A1) circle (0.5pt) node[below left] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (0.5pt) node[below right] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (0.5pt) node[below right] {$C_1$};
        \fill[blue] (D1) circle (0.5pt) node[above right] {$D_1$};

        \fill[blue] (E) circle (0.5pt) node[above right] {$E$};
        \fill[blue] (F) circle (0.5pt) node[below left] {$F$};
        \fill[blue] (G) circle (0.5pt) node[right] {$G$};

        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (D) -- (D1);

        % 待研究的线段
        \draw[thick, purple] (E) -- (F);
        \draw[dashed, purple] (A) -- (G);
        \draw[dashed, purple] (C) -- (E);
        \draw[dashed, purple] (A) -- (C);

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.2-4}
    \label{fig:1.2-4}
\end{figure}


\newpage

% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{60}{30} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=2.5, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 定义各点的坐标
        \coordinate (A) at (0,0,0);
        \coordinate (B) at (1,0,0);
        \coordinate (C) at (1,1,0);
        \coordinate (D) at (0,1,0);
        \coordinate (A1) at (0,0,1);
        \coordinate (B1) at (1,0,1);
        \coordinate (C1) at (1,1,1);
        \coordinate (D1) at (0,1,1);

        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (0.5pt) node[below left] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (0.5pt) node[below right] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (0.5pt) node[below right] {$C$};
        %\fill[blue] (D) circle (0.5pt) node[above right] {$D$};
        \fill[blue] (A1) circle (0.5pt) node[below left] {$A_1$};
        %\fill[blue] (B1) circle (0.5pt) node[below right] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (0.5pt) node[below right] {$C_1$};
        \fill[blue] (D1) circle (0.5pt) node[above right] {$D_1$};

        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (D) -- (D1);

        % 单位正交基底
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple] (D) -- (A) node[midway, right] {$\mathbf{i}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple] (D) -- (C) node[midway, right] {$\mathbf{j}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple] (D) -- (D1) node[midway, right] {$\mathbf{k}$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.2-4}
    %\label{fig:1.2-4}
\end{figure}


\textbf{分析：} 

(1) 要证明 $EF \parallel AC$，只需证明 $\overrightarrow{EF}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 共线（平行）。

设 $\overrightarrow{DA}=\boldsymbol{i}, \overrightarrow{DC}=\boldsymbol{j}, \overrightarrow{DD{\,}'}=\boldsymbol{k}$，则 $\{\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 构成空间的一个{\color{red}单位正交基底}，把 $\overrightarrow{EF}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可。

(2) 要求 $CE$ 与 $AG$ 所成角的余弦值，只需求 $\overrightarrow{CE}, \overrightarrow{AG}$ 所成角的余弦值即可。

\newpage

\textbf{(1)证明：} 

设 $\overrightarrow{DA}=\boldsymbol{i}, \overrightarrow{DC}=\boldsymbol{j}, \overrightarrow{DD{\,}'}=\boldsymbol{k}$，则 $\{\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 构成空间的一个{\color{red}单位正交基底}。

所以
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{EF} &= \overrightarrow{D{\,}'F} - \overrightarrow{D{\,}'E} = \frac{1}{2}\boldsymbol{i} - \frac{1}{2}\boldsymbol{j} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{i} - \boldsymbol{j}), \\
\overrightarrow{CA} &= \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC} = \boldsymbol{i} - \boldsymbol{j}.
\end{aligned}
$$

所以 $\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$.

所以 $EF \parallel AC$.

\newpage

\textbf{(2)解：} 因为
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{CE} &= \overrightarrow{CC{\,}'} + \overrightarrow{C{\,}'E} = -\frac{1}{2}\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}, \\ 
\overrightarrow{AG} &= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DG} = -\boldsymbol{i} + \frac{1}{2}\boldsymbol{k},
\end{aligned}
$$

所以
$$
\cos\langle\overrightarrow{CE}, \overrightarrow{AG}\rangle = \frac{\overrightarrow{CE} \cdot \overrightarrow{AG}}{|\overrightarrow{CE}| |\overrightarrow{AG}|} = \frac{\left(-\frac{1}{2}\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}\right) \cdot \left(-\boldsymbol{i} + \frac{1}{2}\boldsymbol{k}\right)}{\frac{\sqrt{5}}{2} \times \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{5}.
$$

所以 $CE$ 与 $AG$ 所成角的余弦值为 $\frac{2}{5}$. 


\newpage

\textbf{练习1.} 已知四面体 $OABC$, $OB=OC$, $\angle AOB=\angle AOC=\theta$. 求证：$OA \perp BC$.


\newpage

\textbf{练习2.} 如图，在平行六面体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，$AB=2$, $AD=2$, $AA{\,}'=3$, $\angle BAD=\angle BAA'=\angle DAA'=60^\circ$. 求 $BC{\,}'$ 与 $CA{\,}'$ 所成角的余弦值。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image.png}
%     \caption{(第 2 题)}
% \end{figure}


\newpage

\textbf{练习3.} 如图，已知正方体 $ABCD-A{\,}'B{\,}'C{\,}'D{\,}'$，$CD{\,}'$ 和 $DC{\,}'$ 相交于点 $O$，连接 $AO$，求证 $AO \perp CD{\,}'$.

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image.png}
%     \caption{(第 3 题)}
% \end{figure}



\newpage

\textbf{复习巩固1.} 如果向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 间应有什么关系？


\newpage

\textbf{复习巩固2.} 若 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（\quad）。

(A) $\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$

(B) $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$

(C) $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$

(D) $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}, \boldsymbol{c}$


\newpage

\textbf{复习巩固3.} 已知四面体 $OABC, M, N$ 分别是棱 $OA, BC$ 的中点，且 $\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$，用 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 表示向量 $\overrightarrow{MN}$.


\newpage

\textbf{复习巩固4.} 如图，在空间平移 $\triangle ABC$ 到 $\triangle A{\,}'B{\,}'C{\,}'$，连接对应顶点，设 $\overrightarrow{AA{\,}'}=\boldsymbol{a}$, $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}$, $\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{c}$, $M$ 是 $BC{\,}'$ 的中点，$N$ 是 $B{\,}'C{\,}'$ 的中点，用基底 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 表示向量 $\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AN}$.

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png}
%     \caption{(第 4 题)}
% \end{figure}

\newpage 
% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{60}{-20} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.5, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 定义各点的坐标
        \coordinate (C) at (0,0,0);
        \coordinate (C1) at (4,0,0);
        \coordinate (B) at (0,2,0);
        \coordinate (B1) at (4,2,0);
        \coordinate (A) at (0,1,2);
        \coordinate (A1) at (4,1,2);
        \coordinate (M) at (2,1,0); % (B+C1)/2
        \coordinate (N) at (4,1,0); % (B1+C1)/2
        
        \draw[thick] (B) -- (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (C1) -- (B1) -- (B);
        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (A) -- (B);
        \draw[thick] (A) -- (C);
        \draw[dashed] (A1) -- (B1);
        \draw[thick] (A1) -- (C1);
        \draw[dashed] (B) -- (C1);

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (0.5pt) node[above left] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (0.5pt) node[above left] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (0.5pt) node[below left] {$C$};
        \fill[blue] (A1) circle (0.5pt) node[above right] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (0.5pt) node[above left] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (0.5pt) node[below right] {$C_1$};
        \fill[blue] (M) circle (0.5pt) node[below right] {$M$};
        \fill[blue] (N) circle (0.5pt) node[below right] {$N$};

        % 待研究向量
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple] (A) -- (M);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple] (A) -- (N);

        % 单位正交基底
        % \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple] (D) -- (A) node[midway, right] {$\mathbf{i}$};
        % \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple] (D) -- (C) node[midway, right] {$\mathbf{j}$};
        % \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple] (D) -- (D1) node[midway, right] {$\mathbf{k}$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.2-复习巩固4}
    %\label{fig:1.2-4}
\end{figure}

\newpage 
% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{60}{-20} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.5, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 定义各点的坐标
        \coordinate (C) at (0,0,0);
        \coordinate (C1) at (4,0,0);
        \coordinate (B) at (0,2,0);
        \coordinate (B1) at (4,2,0);
        \coordinate (A) at (0,1,2);
        \coordinate (A1) at (4,1,2);
        \coordinate (M) at (2,1,0); % (B+C1)/2
        \coordinate (N) at (4,1,0); % (B1+C1)/2
        
        \draw[thick] (B) -- (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (C1) -- (B1) -- (B);
        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (A) -- (B);
        \draw[thick] (A) -- (C);
        \draw[dashed] (A1) -- (B1);
        \draw[thick] (A1) -- (C1);
        \draw[dashed] (B) -- (C1);

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (0.5pt) node[above left] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (0.5pt) node[above left] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (0.5pt) node[below left] {$C$};
        \fill[blue] (A1) circle (0.5pt) node[above right] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (0.5pt) node[above left] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (0.5pt) node[below right] {$C_1$};
        \fill[blue] (M) circle (0.5pt) node[below right] {$M$};
        \fill[blue] (N) circle (0.5pt) node[below right] {$N$};

        % 待研究向量
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple] (A) -- (M);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple] (A) -- (N);

        % 基底
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (A) -- (A1) node[midway, above] {$\mathbf{a}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (A) -- (B) node[midway, left] {$\mathbf{b}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (A) -- (C) node[midway, right] {$\mathbf{c}$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.2-复习巩固4}
    %\label{fig:1.2-4}
\end{figure}


\newpage

\textbf{综合运用5.} 如图，在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$M$ 是 $AC$ 与 $BD$ 的交点。若 $D_1A_1=2, D_1C_1=2, D_1D=3$，求 $B_1M$ 的长。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png}
%     \caption{(第 5 题)}
% \end{figure}


\newpage

\textbf{综合运用6.} 如图，平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面 $ABCD$ 是菱形，且 $\angle C_1CB=\angle C_1CD=\angle BCD=60^\circ, CD=CC_1$，求证：$CA_1 \perp$ 平面 $C_1BD$.

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png}
%     \caption{(第 6 题)}
% \end{figure}



\newpage

\textbf{拓广探索7.} 如图，在棱长为 1 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E, F$ 分别为 $DD_1, BD$ 的中点，点 $G$ 在 $CD$ 上，且 $\overrightarrow{CG}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CD}$。
(1) 求证：$EF \perp B_1C_1$
(2) 求 $EF$ 与 $C_1G$ 所成角的余弦值。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png}
%     \caption{(第 7 题)}
% \end{figure}


\newpage

\textbf{拓广探索8.} 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直。



\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}



